幾何学概論設題１
１．
2.(1)
2.(2)
３．
集合 A、B の濃度が等しいことを、ここでは「A～B」で表す。
無限集合 A、可算無限集合 N に対して、
A∪N ～ A が成立することを証明する。
A は無限集合であるから、単射 f : N → A が存在する。このとき、f(N) ～ N であり、
A∪N ＝ (A＼f(N))∪f(N)∪N ～ (A＼f(N))∪f(N) ＝ A.
したがって、上の命題のAに{無理数}、Nに{有理数}を代入すれば、
{実数} ＝ {無理数}∪{有理数} ～ {無理数}
となり、①②から
４．
（ １ ）
１．
2.(1)
2.(2)
３．
集合 A、B の濃度が等しいことを、ここでは「A～B」で表す。
無限集合 A、可算無限集合 N に対して、
A∪N ～ A が成立することを証明する。
A は無限集合であるから、単射 f : N → A が存在する。このとき、f(N) ～ N であり、
A∪N ＝ (A＼f(N))∪f(N)∪N ～ (A＼f(N))∪f(N) ＝ A.
したがって、上の命題のAに{無理数}、Nに{有理数}を代入すれば、
{実数} ＝ {無理数}∪{有理数} ～ {無理数}
となり、①②から
４．
（ １ ）
