幾何学概論-設題-2
1. Qの中の2つのコーシー列｛an｝∞/n=1，｛bn｝∞/n=1について、
次の問いに答えよ。
(1) ｛an+bn｝∞/n=1 はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
例. Qの中の数列 {an}∞/n=1について、任意の正の有理数εに対して、
十分大きな自然数Nが存在して、自然数m,nがNより大きいならば、
amとanの差の絶対値がεより小さいとき、すなわち、
N < m,n ⇒|am-an|<ε が成り立つとき、
{an}∞/n=1をコーシー列という。
また、数列{an}がコーシー列であるとは、
任意に与えられた正の有理数εに対して、
適当な番号n0をとるとn≧n0,m≧n0,なるすべての番号mに対して、
|an-am| < ε とできることをいう。
(1)について、
{an},{bn}がコーシー列であるので
∀ε>0に対して，
n,m≧n1のとき，|an-am|<ε/2となる自然数n1が存在する。
n,m≧n2のとき，|bn-bm|<ε/2となる自然数n2が存在する。
|(an+bn)-(am+bm)|=|(an-am)+(bn-b
1. Qの中の2つのコーシー列｛an｝∞/n=1，｛bn｝∞/n=1について、
次の問いに答えよ。
(1) ｛an+bn｝∞/n=1 はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
例. Qの中の数列 {an}∞/n=1について、任意の正の有理数εに対して、
十分大きな自然数Nが存在して、自然数m,nがNより大きいならば、
amとanの差の絶対値がεより小さいとき、すなわち、
N < m,n ⇒|am-an|<ε が成り立つとき、
{an}∞/n=1をコーシー列という。
また、数列{an}がコーシー列であるとは、
任意に与えられた正の有理数εに対して、
適当な番号n0をとるとn≧n0,m≧n0,なるすべての番号mに対して、
|an-am| < ε とできることをいう。
(1)について、
{an},{bn}がコーシー列であるので
∀ε>0に対して，
n,m≧n1のとき，|an-am|<ε/2となる自然数n1が存在する。
n,m≧n2のとき，|bn-bm|<ε/2となる自然数n2が存在する。
|(an+bn)-(am+bm)|=|(an-am)+(bn-b...
