熱雑音
― 熱雑音の算出 ―
増成伸一
平成 21 年 6 月 9 日

1

熱雑音

1.1

問題

次の回路の熱雑音について説明せよ。

C1

Vin

2

R2

1

(1)

Vn1 − R1 I32 − α1 I21 = 0

(2)

Vn1 − R1 I12 − (R2 + α2 )I24 = 0

(3)

Vout1 = α2 I24

(4)

6 Vout
4

R1

I32 = I21 + I24

1
とする。また、電流についてはサ
と表すことができる。αi = jωC
i

フィックスを各経路として表している。式 (1)〜(3) を整理すると、

C2



3







5

Fig.1 RC フィルター



1
R1

−1
0

R1

R2 + α2

 



−1  I32   0 

 


 

α1 
 I24 = Vn1 


0

I21

 

Vn1



上式を次のように表す。

AI = B

1.2

解法

(5)

I24 のみを求めればよいので、クラメルの式を使う。そのため

抵抗が持つ熱雑音のモデルを次のように定義する。

に、まず |A| を求めると

|A|

R1
R1

=

1
R1

−1
0

−1
α1

R1

R2 + α2

0

第 1 行で展開すると、

Vn1
Fig.2 抵抗の熱雑音のモデル

|A| = −α1 (R2 + α2 ) − R1 α1 − R1 (R2 + α2 )
クラメルの式より、

1
|A|I24 = R1
R1

抵抗の持つ熱雑音源を電源 Vn1 として扱うことにする。次に、
このモデル Fig.1 に当てはめてみると、次のようになる。

0
Vn1
Vn1

−1
α1
0

右辺を第 1 行で展開すると

Vn2

Vin

R2

6 Vout

2

1

4

C1

R1

|A|I24

= −α1 Vn1

|A|Vout1

= −α1 α2 Vn1

C2
伝達関数は

Vn1
3

5

Fig.3 抵抗のモデルに熱雑音を考慮した RC フィルター

Vout1
Vn1

=
=
=

今回、出力として扱われるのは、点 6 の位置であるので、この
位置での熱雑音を計算する。抵抗が二つあるため、熱雑音源（電
源）が二つある。重ね合わせの理より、Vn1 のみで考えると、

=

−α1 α2
|A|
α1 α2
α1 (R2 + α2 ) + R1 α1 + R1 (R2 + α2 )
α1 α2
α1 α2 + α1 R2 + α1 R1 + α2 R1 + R1 R2
1
(1/R1 R2 C1 C2 ) + s(1/R1 C1 + 1/R2 C2 + 1/R2 C1 ) + s2

次に、熱雑音 Vn2 について解くと

Vout2
Vn2

=
=

α2
R 2 + α2
1/(R2 C2 )
s + 1/(R2 C2 )

(6)
(7)

したがって、熱雑音の影響の式は

Vout = Vout1 + Vout2

(8)

ここで、回路の定数を下記の T.F.2 のように決める。

T.F. 1
T.F. 2

Table.1 Constant Number
R1[ohm]
R2[ohm] C1[uF]
10000
27
0.0226
10000
27000
0.0226

C2[pF]
1
1000

上記のような定数を設定したときの Vout1 /Vn1 、Vout2 /Vn2 のグ

20 log ( Vout i / Vni ) [dB]

ラフを示すと、

0

i=1
i=2

-100

-200 1
10

102

103

104

Freqency [Hz]

上記定数のように決めたときに、Vout1 /Vn1 は Vout2 /Vn2 に比べ
て十分小さいので、熱源 Vn1 は無視することができる。したがっ
て、熱源 Vn2 のみを考えれば良い。ジョンソン・ノイズの式より

Vn2 =

√
4kT R∆f

k : ボルツマン定数 1.380 × 10−23 [J/K]
T : 絶対温度 [K]
R : 抵抗値 [Ω]
∆f : 帯域幅 [Hz]
定数をそれぞれ T = 300[K]、R = 27[kΩ] とすると

V
√ n2
∆f

=

√

4kRT

√
= 2.114 × 10−8 [V / Hz]

(9)